Реклама

Геометричні характеристики плоского поперечного перерізу 2 елементи (смуга, швелер) 001

геометричні характеристики складеного поперечного перерізу

Рис. 1

Дано схему поперечного перерізу, складену з двох елементів (рис. 1). Визначити геометричні характеристики складеного поперечного перерізу. Площу, центр ваги, положення головних осей, головні моменти інерції, головні радіуси інерції, головні моменти опору.

План виконання задачі:
1) Геометричні характеристики елементів перерізу.
2) Положення центра ваги перерізу.
3) Моменти інерції відносно центральних осей.
4) Положення головних осей.
5) Визначення головних моментів інерції.
6) Головні радіуси інерції.
7) Визначення головних моментів опору.

1) Виписуємо з таблиці сортаменту (ГОСТ 8240-72) необхідні геометричні характеристики для швелера та обчислюємо за формулами прямокутника:

а) Смуга (прямокутник) 240Х20

смуга 240Х20 A_1=hb=24*2=48 см 2,
I_y_1={bh^3}/12={2*24^3}/12=2304 см 4,
I_z_1={b^3h}/12={2^3*24}/12=16 см 4,
I_{{y_1}{z_1}}=0 .

 

б) Швелер №24

швелер №24 A_2=30,6 см 2,
I_y_2=208 см 4,
I_z_2=2900 см 4,
I_{{y_2}{z_2}}=0 ,
b=9 см,
z_0=2,42 см.

 

2) Визначаємо положення центру ваги перерізу відносно початкових осей (осей смуги) y_1 ,~z_1 .

На окремому аркуші паперу в масштабі креслимо схему поперечного перерізу (рис. 2) та вказуємо положення центральних осей кожного елементу. Виконуємо прив'язку (вказуємо відстані) центрів ваги кожного елементу відносно початкових осей y_1 ,~z_1 .

Координати центрів ваги елементів в осях y_1 ,~z_1 :

y_11 =0 ,

y_12 =~-~(1+12)=~-~13 см,

z_11 =0 ,

z_12 =~-~(12~-~9+2,42)=~-~5,42 см.

складений переріз

Рис. 2

Площа поперечного перерізу:

A=sum{i=1}{2}{A_i}=48+30,6=78,6 см 2,

Координати центру ваги перерізу:

y_c={S_{z_1}}/{sum{i=1}{2}{A_i}}={sum{i=1}{2}{A_i y_{1i}}}/A={48*0+30,6*(~-~13)}/{78,6}=~-~5,06 см,

z_c={S_{y_1}}/{sum{i=1}{2}{A_i}}={sum{i=1}{2}{A_i z_{1i}}}/A={48*0+30,6*(~-~5,42)}/{78,6}=~-~2,11 см.

Відкладаємо на рисунку координати y_c та z_c з урахуванням знаків, позначаємо положення центру ваги (точка С) та проводимо центральні осі y_c ,~z_c .

Контролюємо достовірність визначення положення центру ваги складного перерізу. Для цього обчислюємо координати центрів ваги елементів перерізу в координатних осях y_c та z_c (відстані між власними центральними осями окремих елементів і центральними осями перерізу):

b_i=y_{1i}~-~y_c ;

b_1=0~-~(~-~5,06)=5,06 см,

b_2=~-~13~-~(~-~5,06)=~-~7,94 см.

a_i=z_{1i}~-~z_c ;

a_1=0~-~(~-~2,11)=2,11 см,

a_2=~-~5,42~-~(~-~2,11)=~-~3,31 см.

та статичні моменти площі перерізу відносно центральних осей:

S_y_c=sum{i=1}{2}{A_i a_i}=48*2,11+30,6*(~-~3,31)=101,28~-~101,286=~-~0,006 см 3,

похибка: varepsilon={{0,006}/{101,286}}*100%=0,006%<0,5% ;

S_z_c=sum{i=1}{2}{A_i b_i}=48*5,06+30,6*(~-~7,94)=242,88~-~242,964=~-~0,084 см 3,

похибка: varepsilon={{0,084}/{242,964}}*100%=0,035%<0,5% .

3) На основі формул паралельного переходу обчислюємо моменти інерції перерізу відносно центральних осей y_c та z_c :

- осьові

I_y_c=sum{i=1}{2}{(I_y_i+{a_i}^2 A_i)}=2304+{2,11}^2*48+208+{(~-~3,31)}^2*30,6=3061 см 4,

I_z_c=sum{i=1}{2}{(I_z_i+{b_i}^2 A_i)}=16+{5,06}^2*48+2900+{(~-~7,94)}^2*30,6=6074,1 см 4,

- відцентровий

I_{{y_c}{z_c}}=sum{i=1}{2}{(I_{{y_i}{z_i}}+{a_i} {b_i} A_i)} = 0+{5,06}*{2,11}*48+0+{(~-~7,94)}*{(~-~3,31)}*30,6=1316,7 см 4.

4) Визначаємо положення головних центральних осей інерції:

tg2{alpha_0}={2I_{{y_c}{z_c}}}/{I_z_c~-~I_y_c}={2*1316,7}/{6074,1~-~3061}=0,8739836 .

Звідси 2{alpha_0}=41,16^circ ;~~~~~alpha_0=20,58^circ .

На рисунку відкладаємо додатній кут проти годинникової стрілки й креслимо головні центральні осі інерції (рис. 3).

5) Для визначення величин головних центральних моментів інерції використовуємо три види формул.

а)

I_U={I_y_c}cos^2{alpha_0}+{I_z_c}sin^2{alpha_0}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=3061 cos^2{20,58^circ}+6074,1 sin^2{20,58^circ} ~-~
~-~1316,7 sin{2*20,58^circ} =2566,7 см 4,

I_V={I_y_c}sin^2{alpha_0}+{I_z_c}cos^2{alpha_0}+{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=3061 sin^2{20,58^circ}+6074,1 cos^2{20,58^circ} +
~+ 1316,7 sin{2*20,58^circ}  =6568,4 см 4,

Для перевірки правильності знаходження головних моментів інерції, визначаємо відцентровий момент інерції відносно головних осей:

I_UV = I_{{y_c}{z_c}} cos{2alpha_0} + 1/2 ( I_y_c ~-~ I_z_c ) sin{2alpha_0} = 1316,7 cos{2*20,58^circ} + 1/2 (3061 ~-~ 6074,1) sin{2*20,58^circ} =

~~~~~~~~~~~~~~ = 1998,63 ~-~ 1998,877 = ~-~0,247,

похибка: varepsilon={{0,247}/{1998,877}}*100%=0,0124%<0,5% ;

б)

I_U={I_y_c}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}=3061~-~1316,7 tg{20,58^circ} =2566,7 см 4,

I_V={I_z_c}+{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}=6074,1+1316,7 tg{20,58^circ} =6568,4 см 4,

в)

I_{matrix{2}{1}{max min}}={{I_y_c}+{I_z_c}}/2 pm sqrt{{{({{I_y_c}~-~{I_z_c}}/2)}^2}+{I_{{y_c}{z_c}}}^2}={3061+6074,1}/2 pm sqrt{{{({3061~-~6074,1}/2)}^2}+{1316,7}^2} =

~~~~~~~~~~~~~~ = 4567,55 pm 2000,85.

Оскільки {I_y_c}<{I_z_c}, то {I_U}<{I_V} :

{I_U}={I_min}=4567,55 ~-~ 2000,85=2566,7 см 4,

{I_V}={I_max}=4567,55 + 2000,85=6568,4 см 4.

Перевіряємо умову інваріантності осьових моментів інерції:

{I_U}+{I_V}={I_y_c}+{I_z_c} ,

{I_U}+{I_V}=2566,7+6568,4=9135,1 см 4,

{I_y_c}+{I_z_c}=3061+6074,1=9135,1 см 4.

6) Обчислюємо головні радіуси інерції:

i_U=sqrt{{I_U}/{A}}=sqrt{{2566,7}/{78,6}}=5,71 см,

i_V=sqrt{{I_V}/{A}}=sqrt{{6568,4}/{78,6}}=9,14 см,

та будуємо еліпс інерції (рис. 3). Визначаємо графічно радіуси інерції відносно осей y_c ,~z_c :

i_y_c=6,24 см,~~~~~i_z_c=8,79 см.

Обчислюємо моменти інерції відносно цих осей:

I_y_c={i_y_c}^2 A={6,24}^2*78,6=3060,5 см 4,

I_z_c={i_z_c}^2 A={8,79}^2*78,6=6073 см 4,

та порівнюємо з раніше обчисленими значеннями:

I_y_c=3061 см 4,~~~~~I_z_c=6074, см 4.

7) Визначаємо головні моменти опору W_U та W_V :

Найбільш віддаленою точкою від осі U є точка A(4,06;~14,11) , а від осі V - точка B(~-~19,94;~-~9,89) . Вимірюючи на рисунку відстані до цих точок від відповідних головних осей, знаходимо: U_max =22,15 см, V_max =11,78 см.

Перевіряємо за формулами:

U_max = y_B cos alpha_0 + z_B sin alpha_0 = ~-~19,94 cos 20,58^circ + (~-~9,89) sin 20,58^circ = ~-~22,14 см,

V_max = z_A cos alpha_0 ~-~ y_A sin alpha_0 = 14,11 cos 20,58^circ ~-~ 4,06 sin 20,58^circ = 11,78 см.

Головні моменти опору:

W_U = {I_U}/{V_max} = {2566,7}/{11,78} = 217,8 см 3,

W_V = {I_V}/{U_max} = {6568,4}/{22,15} = 296,6 см 3.

еліпс інерції

Рис. 3

Сподобалася стаття! Підтримай проект! Став ЛАЙК!