Реклама

Геометричні характеристики плоского поперечного перерізу 3 елементи (смуга, двотавр, кутник) 018

геометричні характеристики складеного поперечного перерізу

Рис. 1

Дано схему поперечного перерізу, складену з трьох елементів (рис. 1). Визначити геометричні характеристики складеного поперечного перерізу. Площу, центр ваги, положення головних осей, головні моменти інерції, головні радіуси інерції, головні моменти опору та побудувати еліпс інерції.

План виконання задачі:
1) Геометричні характеристики елементів перерізу.
2) Положення центра ваги перерізу.
3) Моменти інерції відносно центральних осей.
4) Положення головних осей.
5) Визначення головних моментів інерції.
6) Головні радіуси інерції.
7) Визначення головних моментів опору.

1) Виписуємо з таблиці сортаменту (ГОСТ 8239-72 та ГОСТ 8509-86) необхідні геометричні характеристики для двотавра, кутника та обчислюємо за формулами прямокутника:

а) Смуга (прямокутник) 200Х16

смуга 200Х16 A_1=hb=20*1,6=32 см 2,
I_y_1={bh^3}/12={1,6*20^3}/12=1066,7 см 4,
I_z_1={b^3h}/12={1,6^3*20}/12=6,83 см 4,
I_{{y_1}{z_1}}=0 .

 

б) Двотавр №16

двотавр №16 A_2=20,2 см 2,
I_y_2=58,6 см 4,
I_z_2=873 см 4,
I_{{y_2}{z_2}}=0 ,
b=8,1 см,
h=16 см.

 

в) Кутник 90Х6

кутник 90Х6 A_3=10,61 см 2,
I_y_3=I_z_3=82,1 см 4,
I_max=130 см 4,
I_{{y_3}{z_3}}= pm(I_max ~-~ I_y_3 )=
~= ~-~(130 ~-~ 82,1) = ~-~47,9 см 4,
b=9 см,
z_0=2,43 см.

 

2) Визначаємо положення центру ваги перерізу відносно початкових осей (осей смуги) y_1 ,~z_1 .

На окремому аркуші паперу в масштабі креслимо схему поперечного перерізу (рис. 2) та вказуємо положення центральних осей кожного елементу. Виконуємо прив'язку (вказуємо відстані) центрів ваги кожного елементу відносно початкових осей y_1 ,~z_1 .

Координати центрів ваги елементів в осях y_1 ,~z_1 :

y_11 =0 ,

y_12 = {1,6}/2 + 8 = 8,8 см,

y_13 = ~-~ ({1,6}/2 +2,43)= ~-~ 3,23 см,

z_11 =0 ,

z_12 = 10 ~-~ 4,05= 5,95 см,

z_13 =~-~(10~-~9+2,43)= ~-~ 3,43 см.

складений переріз

Рис. 2

Площа поперечного перерізу:

A=sum{i=1}{3}{A_i}= 32 + 20,2 + 10,61 = 62,81 см 2,

Координати центру ваги перерізу:

y_c={S_{z_1}}/{sum{i=1}{3}{A_i}}={sum{i=1}{3}{A_i y_{1i}}}/A={32*0+20,2*8,8+10,61*(~-~3,23)}/{62,81}= 2,28 см,

z_c={S_{y_1}}/{sum{i=1}{3}{A_i}}={sum{i=1}{3}{A_i z_{1i}}}/A={32*0+20,2*5,95+10,61*(~-~3,43)}/{62,81}= 1,33 см.

Відкладаємо на рисунку координати y_c та z_c з урахуванням знаків, позначаємо положення центру ваги (точка С) та проводимо центральні осі y_c ,~z_c .

Контролюємо достовірність визначення положення центру ваги складного перерізу. Для цього обчислюємо координати центрів ваги елементів перерізу в координатних осях y_c та z_c (відстані між власними центральними осями окремих елементів і центральними осями перерізу):

b_i=y_{1i}~-~y_c ;

b_1= 0 ~-~ 2,28 = ~-~2,28 см,

b_2= 8,8 ~-~ 2,28= 6,52 см,

b_3= ~-~3,23 ~-~ 2,28= ~-~5,51 см.

a_i=z_{1i}~-~z_c ;

a_1= 0 ~-~ 1,33 = ~-~1,33 см,

a_2= 5,95 ~-~ 1,33 = 4,62 см,

a_3= ~-~3,43 ~-~ 1,33 = ~-~4,76 см.

та статичні моменти площі перерізу відносно центральних осей:

S_y_c=sum{i=1}{3}{A_i a_i}= 32*(~-~1,33) + 20,2*4,62 + 10,61*(~-~4,76) = 93,324 ~-~ 93,064 = 0,26 см 3,

похибка: varepsilon={{0,26}/{93,324}}*100%=0,28%<0,5% ;

S_z_c=sum{i=1}{3}{A_i b_i}= 32*(~-~2,28) + 20,2*6,52 + 10,61*(~-~5,51) = 131,704 ~-~ 131,421 = 0,283 см 3,

похибка: varepsilon={{0,283}/{131,704}}*100%=0,215%<0,5% .

3) На основі формул паралельного переходу обчислюємо моменти інерції перерізу відносно центральних осей y_c та z_c :

- осьові

I_y_c=sum{i=1}{3}{(I_y_i+{a_i}^2 A_i)}= 1066,7 + {(~-~1,33)}^2*32 + 58,6 + {4,62}^2*20,2 + 82,1 + {(~-~4,76)}^2*10,61 =
~= 1935,6 см 4,

I_z_c=sum{i=1}{3}{(I_z_i+{b_i}^2 A_i)}= 6,83 + {(~-~2,28)}^2*32 + 873 + {6,52}^2*20,2 + 82,1 + {(~-~5,51)}^2*10,61 =
~= 2309,1 см 4,

- відцентровий

I_{{y_c}{z_c}}=sum{i=1}{3}{(I_{{y_i}{z_i}}+{a_i} {b_i} A_i)} = 0 + {(~-~1,33)}*{(~-~2,28)}*32 + 0 + {4,62}*{6,52}*20,2 +~~~~~~~~~~~~~~ + (~-~47,9) + {(~-~4,76)}*{(~-~5,51)}*10,61 = 935,9 см 4.

4) Визначаємо положення головних центральних осей інерції:

tg2{alpha_0}={2I_{{y_c}{z_c}}}/{I_z_c~-~I_y_c}={2*935,9}/{2309,1 ~-~ 1935,6} = 5,01074 .

Звідси 2{alpha_0}=78,72^circ ;~~~~~alpha_0=39,36^circ .

На рисунку відкладаємо додатній кут проти годинникової стрілки й креслимо головні центральні осі інерції (рис. 3).

5) Для визначення величин головних центральних моментів інерції використовуємо три види формул.

а)

I_U={I_y_c}cos^2{alpha_0}+{I_z_c}sin^2{alpha_0}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=1935,6 cos^2{39,36^circ}+2309,1 sin^2{39,36^circ} ~-~ 935,9 sin{2*39,36^circ} =
~= 1168 см 4,

I_V={I_y_c}sin^2{alpha_0}+{I_z_c}cos^2{alpha_0}+{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=1935,6 sin^2{39,36^circ}+2309,1 cos^2{39,36^circ} + 935,9 sin{2*39,36^circ} =
~= 3076,7 см 4,

Для перевірки правильності знаходження головних моментів інерції, визначаємо відцентровий момент інерції відносно головних осей:

I_UV = I_{{y_c}{z_c}} cos{2alpha_0} + 1/2 ( I_y_c ~-~ I_z_c ) sin{2alpha_0} = 935,9 cos{2*39,36^circ} + 1/2 (1935,6 ~-~ 2309,1) sin{2*39,36^circ} =

~~~~~~~~~~~~~~ = 1132,171 ~-~ 1132,248 = ~-~0,077,

похибка: varepsilon={{0,077}/{1132,248}}*100%=0,0068%<0,5% ;

б)

I_U={I_y_c}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}= 1935,6 ~-~ 935,9 tg{39,36^circ} = 1168 см 4,

I_V={I_z_c}+{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}= 2309,1 + 935,9 tg{39,36^circ} = 3076,7 см 4,

в)

I_{matrix{2}{1}{max min}}={{I_y_c}+{I_z_c}}/2 pm sqrt{{{({{I_y_c}~-~{I_z_c}}/2)}^2}+{I_{{y_c}{z_c}}}^2}={1935,6 + 2309,1}/2 pm sqrt{{{({1935,6 ~-~ 2309,1}/2)}^2} + {935,9}^2}=

~~~~~~~~~~~~~~ = 2122,35 pm 954,35.

Оскільки {I_y_c}<{I_z_c}, то {I_U}<{I_V} :

{I_U}={I_min}= 2122,35 ~-~ 954,35 = 1168 см 4,

{I_V}={I_max}= 2122,35 + 954,35 = 3076,7 см 4.

Перевіряємо умову інваріантності осьових моментів інерції:

{I_U}+{I_V}={I_y_c}+{I_z_c} ,

{I_U}+{I_V}= 1168 + 3076,7 = 4244,7 см 4,

{I_y_c}+{I_z_c}=1935,6 + 2309,1 = 4244,7 см 4.

6) Обчислюємо головні радіуси інерції:

i_U=sqrt{{I_U}/{A}}=sqrt{{1168}/{62,81}} = 4,31 см,

i_V=sqrt{{I_V}/{A}}=sqrt{{3076,7}/{62,81}} = 7 см,

та будуємо еліпс інерції (рис. 3). Визначаємо графічно радіуси інерції відносно осей y_c ,~z_c :

i_y_c= 5,55 см,~~~~~i_z_c= 6,06 см.

Обчислюємо моменти інерції відносно цих осей:

I_y_c={i_y_c}^2 A= {5,55}^2 * 62,81 = 1934,7 см 4,

I_z_c={i_z_c}^2 A= {6,06}^2 * 62,81 = 2306,6 см 4,

та порівнюємо з раніше обчисленими значеннями:

I_y_c= 1935,6 см 4,~~~~~I_z_c= 2309,1 , см 4.

7) Визначаємо головні моменти опору W_U та W_V :

Найбільш віддаленою точкою від осі U є точка A(~-~3,08;~8,67) , а від осі V - точка B(14,52;~8,67) . Вимірюючи на рисунку відстані до цих точок від відповідних головних осей, знаходимо: U_max = 16,73 см, V_max = 8,66 см.

Перевіряємо за формулами:

U_max = y_B cos alpha_0 + z_B sin alpha_0 = 14,52 cos 39,36^circ + 8,67 sin 39,36^circ = 16,73 см,

V_max = z_A cos alpha_0 ~-~ y_A sin alpha_0 = 8,67 cos 39,36^circ ~-~ (~-~3,08) sin 39,36^circ = 8,66 см.

Головні моменти опору:

W_U = {I_U}/{V_max} = {1168}/{8,66} = 134,9 см 3,

W_V = {I_V}/{U_max} = {3076,7}/{16,73} = 183,9 см 3.

еліпс інерції

Рис. 3

Сподобалася стаття! Підтримай проект! Став ЛАЙК!