Метод начальных параметров (изгиб стержня) 016

Метод начальных параметров (изгиб стержня)

Рис. 1

Угол поворота сечения на расстоянии от начала координат:

$EI_y phi(x) = EI_y phi_0 ~- ~M_0 x ~- ~Q_0 /2 x^2 + sum{i}{~}{M_i (x~-~a_i)} + sum{i}{~}{F_i /2 (x~-~b_i)^2} +$
$~+ sum{i}{~}{q_i /6 delim{[}{(x~-~c_i)^3 -~ (x~-~d_i)^3}{]}}$ ;

Прогиб на расстоянии от начала координат:

$EI_y w(x) = EI_y w_0 + EI_y phi_0 x ~- ~M_0 /2 x^2 - ~Q_0 /6 x^3 + sum{i}{~}{M_i /2 (x~-~a_i)^2} + sum{i}{~}{F_i /6 (x~-~b_i)^3} +$ $+ sum{i}{~}{q_i /24 delim{[}{(x~-~c_i)^4 -~ (x~-~d_i)^4}{]}}$ ;

Начало координат находится на левом конце стержня, ось направлена вправо.

Здесь - расстояние от начала координат до сечения, в котором определяются угол поворота и прогиб стержня.

w_0 ,~~ phi_0 ,~~ M_0 ,~~ Q_0 - начальные параметры (прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила в начале стержня (с левой стороны стержня).

a_i ,~~ b_i ,~~ c_i ,~~ d_i - соответственно расстоянию от начала стержня до сечений, в которых приложены сосредоточенные момент M_i , сила F_i , начинается и заканчивается действие равномерно распределенной нагрузки q_i (рис. 1).

EI_y - изгибная жесткость стержня.

Перемещение, вычисленные по приведенным формулам, получаем увеличенными в EI_y раз. Для определения перемещений нужно, чтобы, помимо внешних нагрузок, были известны все начальные параметры. Начальные усилия M_0 ~ ~ Q_0 берутся равными ординатам эпюр Q_z и M_y на левом конце балки. Начальные перемещения w_0 ~ ~ phi_0 зависят от условий закрепления балки (рис. 2).

Метод начальных параметров, закрепления балки

Рис. 2

Используя формулы перемещений, следует помнить, что в них учитываются все прилагаемые к балке внешние нагрузки (учитывая и реакции опор), которые находятся с левой стороны от рассматриваемого сечения.

Нужно также обратить внимание на знаки величин, входящих в формулы. Внешние нагрузки, имеющие направления, указанные на рис. 1, подставляются со знаком "+", при противоположном направлении любой нагрузки соответствующие составляющие формулы меняют знак на противоположный. Правило знаков для перемещений следующее: угол поворота по часовой стрелке, в прогиб вниз считаются положительными.

Между функциями EI_y w(x),~~ EI_y phi(x),~~ M_y(x),~~ Q_z(x) и интенсивностью нагрузки q_z существуют такие дифференциальные зависимости:

${dEI_y w(x)}/{dx} = EI_y phi(x),~~ {dEI_y phi(x)}/{dx} = ~-~M_y(x),~~ {dM_y(x)}/{dx} = Q_z(x),~~ {dQ_z(x)}/{dx} = ~-~q_z$ .

Нужно следить, чтобы построенные эпюры отвечали приведенным зависимостям (в смысле правильного расположения точек экстремума, перегиба, нулевых точек и т.п.).

Понравилась статья! Поддержи проект! Ставь ЛАЙК!

Для студента

Онлайн расчеты

Реклама

Метод начальных параметров (изгиб стержня) 016