Реклама

Пример 2. Построение эпюр усилий в шарнирной балке 031

шарнирная балка

Рис. 1

Дано расчетную схему шарнирной балки (рис. 1) и приложенною к ней внешнюю нагрузку.

Нужно:
1) Определить опорные реакции.
2) Построить эпюры внутренних усилий: эпюру продольных сил (рис. 2, Еп.Nx), поперечных сил (рис. 2, Еп.Qz) и изгибающих моментов (рис. 2, Еп.My).

Решение:

1) Определение опорных реакций.

Спроектируем силу F_1 на ось x и z (рис. 2).
Ее проекции равны:
F_{1x} = ~-~F_1 cos 45^{circ} = ~-~20 * cos 45^{circ} = ~-~14,14 кН;
F_{1z} = F_1 sin 45^{circ} = 20 * sin 45^{circ} = 14,14 кН.

Поскольку в сквозном шарнире изгибающий момент равен нулю, то балку, изображенную на рис.1, можно рассчитывать как две отдельные балки (рис. 2, I, II). Расчет начинаем с балки, в которой количество опорных реакций соответствует количеству уравнений статического равновесия статики (для плоских задач - три уравнения). Опорная реакция (где находится шарнир) первой балки, передается на другие балки с противоположным знаком.

I - балка

Сумма моментов всех сил относительно точки B:
sum{~}{~}{M_B} = 0,~~ R_A * (a_4 + a_5) ~-~ F_2 * a_4 = 0;
sum{~}{~}{M_B} = 0,~~ R_A * (2 + 5) ~-~ 6 * 2 = 0;
R_A = 1,71 кН.

Сумма моментов всех сил относительно точки A:
sum{~}{~}{M_A} = 0,~~ ~-~ R_B * (a_4 + a_5) + F_2 * a_5 = 0;
sum{~}{~}{M_A} = 0,~~ ~-~ R_B * (2 + 5) + 6 * 5 = 0;
R_B = 4,29 кН.

II - балка

Сумма проекций всех сил на ось x:
sum{~}{~}{F_x} = 0,~~ R_{Cx} ~-~ F_{1x} = 0;
sum{~}{~}{F_x} = 0,~~ R_{Cx} ~-~ 14,14 = 0;
R_{Cx} = 14,14 кН.

Сумма моментов всех сил относительно точки D:
sum{~}{~}{M_D} = 0,~~ ~-~ R_{Cz} * (a_1 + a_2) ~-~ M + (F_{1z} ~-~ R_B) * (a_1 + a_2 + a_3) = 0;
sum{~}{~}{M_D} = 0,~~ ~-~ R_{Cz} * (4 + 5) ~-~ 14 + 9,85 * (4 + 5 + 4) = 0;
R_{Cz} = 12,67 кН.

Сумма моментов всех сил относительно точки C:
sum{~}{~}{M_C} = 0,~~ ~-~ R_D * (a_1 + a_2) ~-~ M + (F_{1z} ~-~ R_B) * a_3 = 0;
sum{~}{~}{M_C} = 0,~~ ~-~ R_D * (4 + 5) ~-~ 14 + 9,85 * 4 = 0;
R_D = 2,82 кН.

Проверка (сумма проекций всех сил на ось z):
sum{~}{~}{F_z} = 0,~~ R_D ~-~ R_{Cz} + F_{1z} ~-~ F_2 + R_A = 2,82 ~-~ 12,67 + 14,14 ~-~ 6 + 1,71 = 0.

2) Построение эпюр внутренних усилий.

Обозначаем характерные точки и определяем в них значение усилий, используя соответствующее правило знаков для построения эпюр внутренних усилий.

Построение эпюры продольных сил (Еп.Nx, кН):
N_2Л~ = ~-~ F_{1x} = ~-~ 14,14;
N_3Пр~ = ~-~ R_{Cx} = ~-~ 14,14.

Строим эпюру продольных сил (рис.2).

Построение эпюры поперечных сил (Еп.Qz, кН):
Q_0Л~ = R_A = 1,71;
Q_1Пр~ = R_A = 1,71;
Q_1Л~ = ~-~ R_B = ~-~ 4,29;
Q_2Пр~ = ~-~ R_B = ~-~ 4,29;
Q_2Л~ = F_{1z} ~-~ R_B = 9,85;
Q_3Пр~ = F_{1z} ~-~ R_B = 9,85;
Q_3Л~ = ~-~ R_D = ~-~ 2,82;
Q_5Пр~ = ~-~ R_D = ~-~ 2,82.

Строим эпюру поперечных сил (рис.2).

Построение эпюры изгибающих моментов (Еп.My, кН·м):
M_0~= 0;
M_1~= ~-~ R_A * a_5 = ~-~ 1,71 * 5 = ~-~ 8,55;
M_2~= 0;
M_3~= ~-~ (F_{1z}~-~ R_B) * a_3 = ~-~ 9,85 * 4 = ~-~ 39,4;
M_4Пр~= ~-~ R_D * a_1 ~-~ M= ~-~ 2,82 * 4 ~-~ 14 = ~-~ 25,28;
M_4Л~= ~-~ R_D * a_1 = ~-~ 2,82 * 4 = ~-~ 11,26;
M_5~= 0.

Строим эпюру изгибающих моментов (рис.2).

эпюры усилий

Рис. 2

Понравилась статья! Поддержи проект! Ставь ЛАЙК!