Геометрические характеристики плоского поперечного сечения 3 элемента (полоса, швеллер, уголок) 024

Рис. 1

Дано схему поперечного сечения, составленную из трех элементов (рис. 1). Определить геометрические характеристики составного сечения. Площадь, центр тяжести, положение главных осей, главные моменты инерции, главные радиусы инерции, главные моменты сопротивления и построить эллипс инерции.

План выполнения задачи:
1) Геометрические характеристики элементов сечения.
2) Положение центра тяжести сечения.
3) Моменты инерции относительно центральных осей.
4) Положение главных осей.
5) Определение главных моментов инерции.
6) Главные радиусы инерции.
7) Определение главных моментов сопротивления.

1) Выписываем из таблицы сортамента (ГОСТ 8240-72 и ГОСТ 8509-86) необходимые геометрические характеристики для швеллера, уголка и вычисляем по формулам прямоугольника:

а) Полоса (прямоугольник) 240Х18

см ²,
$I_y_1={bh^3}/12={24*1,8^3}/12=11,66$ см ⁴,
$I_z_1={b^3h}/12={24^3*1,8}/12=2073,6$ см ⁴,
$I_{{y_1}{z_1}}=0 .$

б) Швеллер №33

см ²,

см ⁴,

см ⁴,
$I_{{y_2}{z_2}}=0 ,$
z_0=2,59

см,

см,

см.

в) Уголок 50Х5

см ²,

см ⁴,

см ⁴,
$I_{{y_3}{z_3}}= pm(I_max ~-~ I_y_3 )=$
~= ~+~(17,77 ~-~ 11,2) = 6,57

см ⁴,

см,

см.

2) Определяем положение центра тяжести сечения относительно начальных осей (осей полосы)

На отдельном листе бумаги в масштабе чертим схему поперечного сечения (рис. 2) и указываем положение центральных осей каждого элемента. Выполняем привязку (указываем расстояния) центров тяжести каждого элемента относительно начальных осей y_1 ,~z_1 .

Координаты центров тяжести элементов в осях y_1 ,~z_1 :

y_11 =0 ,

$y_12 = ~-~ ({24}/2 ~-~ 2,59) = ~-~ 9,41$ см,

$y_13 = ~-~ ({24}/2 + 1,42) = ~-~ 13,42$ см,

z_11 =0 ,

$z_12 = {1,8} / 2 + {33 / 3} = 17,4$ см,

$z_13 = {1,8} / 2 + 33 ~-~ 5 + 1,42 = 30,32$ см.

составное сечение

Рис. 2

Площадь поперечного сечения:

$A=sum{i=1}{3}{A_i}= 43,2 + 46,5 + 4,8 = 94,5$ см ²,

Координаты центра тяжести сечения:

$y_c={S_{z_1}}/{sum{i=1}{3}{A_i}}={sum{i=1}{3}{A_i y_{1i}}}/A={43,2*0+46,5*(~-~ 9,41)+4,8*(~-~ 13,42)}/{94,5}= ~-~ 5,31$ см,

$z_c={S_{y_1}}/{sum{i=1}{3}{A_i}}={sum{i=1}{3}{A_i z_{1i}}}/A={43,2*0+46,5*17,4+4,8*30,32}/{94,5}= 10,1$ см.

Откладываем на рисунке координаты y_c и z_c с учетом знаков, обозначаем положение центра тяжести (точка С) и проводим центральные оси y_c ,~z_c .

Контролируем достоверность определения положения центра тяжести сложного сечения. Для этого вычисляем координаты центров тяжести элементов сечения в координатных осях y_c и z_c (расстояния между собственными центральными осями отдельных элементов и центральными осями сечения):

$b_i=y_{1i}~-~y_c ;$

b_1= 0 ~-~ (~-~ 5,31) = 5,31 см,

b_2= ~-~ 9,41 ~-~ (~-~ 5,31) = ~-~ 4,1 см,

b_3= ~-~ 13,42 ~-~ (~-~ 5,31) = ~-~ 8,11 см.

$a_i=z_{1i}~-~z_c ;$

a_1= 0 ~-~ 10,1 = ~-~10,1 см,

a_2= 17,4 ~-~ 10,1 = 7,3 см,

a_3= 30,32 ~-~ 10,1 = 20,22 см.

и статические моменты площади сечения относительно центральных осей:

$S_y_c=sum{i=1}{3}{A_i a_i}= 43,2*(~-~10,1) + 46,5*7,3 + 4,8*20,22 = 436,506 ~-~ 436,32 = 0,186$ см ³,

погрешность: varepsilon={{0,186}/{436,506}}*100%=0,043%<0,5% ;

$S_z_c=sum{i=1}{3}{A_i b_i}= 43,2*5,31 + 46,5*(~-~ 4,1) + 4,8*(~-~ 8,11) = 229,392 ~-~ 229,578 = ~-~0,186$ см ³,

погрешность: varepsilon={{0,186}/{229,578}}*100%=0,081%<0,5% .

3) На основании формул параллельного перехода вычисляем моменты инерции сечения относительно центральных осей и

- осевые

$I_y_c=sum{i=1}{3}{(I_y_i+{a_i}^2 A_i)}= 11,66 + {(~-~10,1)}^2*43,2 + 7980 + {7,3}^2*46,5 + 11,2 + {20,22}^2*4,8 =$
~= 16850,15 см ⁴,

$I_z_c=sum{i=1}{3}{(I_z_i+{b_i}^2 A_i)}= 2073,6 + {5,31}^2*43,2 + 410 + {(~-~ 4,1)}^2*46,5 + 11,2 + {(~-~ 8,11)}^2*4,8 =$
~= 4810,24 см ⁴,

- центробежный

$I_{{y_c}{z_c}}=sum{i=1}{3}{(I_{{y_i}{z_i}}+{a_i} {b_i} A_i)} = 0 + {(~-~10,1)}*{5,31}*43,2 + 0 + {7,3}*{(~-~ 4,1)}*46,5 +$ ~~~~~~~~~~~~~~ + 6,57 + {20,22}*{(~-~ 8,11)}*4,8 = ~-~4489,16 см ⁴.

4) Определяем положение главных центральных осей инерции:

$tg2{alpha_0}={2I_{{y_c}{z_c}}}/{I_z_c~-~I_y_c}={2*(~-~4489,16)}/{4810,24 ~-~ 16850,15} = 0,7457 .$

Отсюда $2{alpha_0}=36,72^circ ;~~~~~alpha_0=18,36^circ .$

На рисунке откладываем положительный угол против часовой стрелки и чертим главные центральные оси инерции (рис. 3).

5) Для определения величин главных центральных моментов инерции используем три вида формул.

а)

$I_U={I_y_c}cos^2{alpha_0}+{I_z_c}sin^2{alpha_0}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=16850,15 cos^2{18,36^circ}+4810,24 sin^2{18,36^circ} ~-~$
$~-~ (~-~4489,16) sin{2*18,36^circ} = 18339,68$ см ⁴,

$I_V={I_y_c}sin^2{alpha_0}+{I_z_c}cos^2{alpha_0}+{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=16850,15 sin^2{18,36^circ}+4810,24 cos^2{18,36^circ} +$
$+ (~-~4489,16) sin{2*18,36^circ} = 3320,71$ см ⁴,

Для проверки правильности нахождения главных моментов инерции, определяем центробежный момент инерции относительно главных осей:

$I_UV = I_{{y_c}{z_c}} cos{2alpha_0} + 1/2 ( I_y_c ~-~ I_z_c ) sin{2alpha_0} =$
$~= (~-~4489,16) cos{2*18,36^circ} + 1/2 (16850,15 ~-~ 4810,24) sin{2*18,36^circ} = ~-~5036,4 + 5037,39 = 0,99$ ,

погрешность: varepsilon={{0,99}/{5037,39}}*100%=0,0197%<0,5% ;

б)

$I_U={I_y_c}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}= 16850,15 ~-~ (~-~4489,16) tg{18,36^circ} = 18339,68$ см ⁴,

$I_V={I_z_c}+{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}= 4810,24 + (~-~4489,16) tg{18,36^circ} = 3320,71$ см ⁴,

в)

$I_{matrix{2}{1}{max min}}={{I_y_c}+{I_z_c}}/2 pm sqrt{{{({{I_y_c}~-~{I_z_c}}/2)}^2}+{I_{{y_c}{z_c}}}^2}=$
$~={16850,15 + 4810,24}/2 pm sqrt{{{({16850,15 ~-~ 4810,24}/2)}^2} + {(~-~4489,16)}^2}=$

~~~~~~~~~~~~~~ = 10830,195 pm 7509,485 .

Поскольку ${I_y_c}>{I_z_c}$ , то ${I_U}>{I_V} :$

${I_U}={I_min}= 10830,195 + 7509,485 = 18339,68$ см ⁴,

${I_V}={I_max}= 10830,195 ~-~ 7509,485 = 3320,71$ см ⁴.

Проверяем условие инвариантности осевых моментов инерции:

${I_U}+{I_V}={I_y_c}+{I_z_c} ,$

${I_U}+{I_V}= 18339,68 + 3320,71 = 21660,39$ см ⁴,

${I_y_c}+{I_z_c}=16850,15 + 4810,24 = 21660,39$ см ⁴.

6) Вычисляем главные радиусы инерции:

$i_U=sqrt{{I_U}/{A}}=sqrt{{18339,68}/{94,5}} = 13,93$ см,

$i_V=sqrt{{I_V}/{A}}=sqrt{{3320,71}/{94,5}} = 5,93$ см,

и строим эллипс инерции (рис. 3). Определяем графически радиусы инерции относительно осей y_c ,~z_c :

i_y_c= 13,35 см, ~~~~~i_z_c= 7,14 см.

Вычисляем моменты инерции относительно этих осей:

$I_y_c={i_y_c}^2 A= {13,35}^2 * 94,5 = 16842,03$ см ⁴,

$I_z_c={i_z_c}^2 A= {7,14}^2 * 94,5 = 4817,57$ см ⁴,

и сравниваем с ранее вычисленными значениями:

I_y_c= 16850,15 см ⁴, ~~~~~I_z_c= 4810,24 , см ⁴.

7) Определяем главные моменты сопротивления и

Наиболее удаленной точкой от оси является точка A(~-~6,69;~23,8) , а от оси - точка B(17,31;~9,2) . Измеряя на рисунке расстояния до этих точек от соответствующих главных осей, находим: U_max = 13,53 см, V_max = 24,7 см.